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一些离散数学中的概念

### 命题

判断是否为命题

- 火星上有水 $ \checkmark $
- 2050年元旦是晴天$\checkmark$
- 我正在说假话$\times$  (悖论)

#### 类型
- 命题常项
- 命题变项
  - 命题公式(公式)  
    - 公式层次
    - 赋值(解释)
      - 重言式(永真式)
      - 矛盾式(永假式)
      - 可满足式
    - 真值表

##

### 联结词

#### 优先顺序
1. $\lnot$
2. $\land$
3. $\lor$
4. $\to$
5. $\leftrightarrow$

#### 类型
- 否定联结词$\lnot\\$

- 合取联结词$\land\\$

- 析取联结词\$lor\\$

  - 相容或：方浩喜爱唱歌
  - 排斥或：方浩是江西人或安徽人

- 蕴涵联结词$\to$

  - p$\to$q
  - "只要p就q"
  - "p仅当q"
  - "只有q才p"

- 等价联结词$\leftrightarrow$

##

### 命题逻辑等值演算

<span id="jump"></span>

#### 等值 

- 等值式模式
  - 双重否定律$\quad A\Leftrightarrow \lnot \lnot A$ 
  
  - 幂等律$\quad A \Leftrightarrow A \lor A\\ \quad \quad \quad \quad A \Leftrightarrow A \land A$
  
  - 交换律$\quad A \lor B  \Leftrightarrow  B \lor A \\ \quad \quad \quad \quad  A \land B \Leftrightarrow  B \land A  $
  
  - 结合律$\quad (A \lor B) \lor C \Leftrightarrow A \lor (B \lor C)$
  
  - 分配律$\quad A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C) \\ \quad \quad \quad \quad A \land(B \lor C) \Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C)$
  
  - 德摩根律$\quad \lnot (A \lor B) \Leftrightarrow \lnot A \land \lnot B \\ \quad \quad \quad \quad \quad \lnot (A \land B) \Leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B$
 
  - 吸收律$\quad A \lor (A \land B) \Leftrightarrow A \\ \quad \quad \quad \quad A \land (A \lor B) \Leftrightarrow A$
  
  - 零律$\quad A \lor 0 \Leftrightarrow A \\ \quad \quad \quad A \land 1 \Leftrightarrow A$
  
  - 同一律$\quad A \lor 0 \Leftrightarrow A \\ \quad \quad \quad \quad A \land 1 \Leftrightarrow A$
  
  - 排中律$\quad A \lor \lnot A \Leftrightarrow 1$
 
  - 矛盾律$\quad A \land \lnot A \Leftrightarrow 0$
  
  - 蕴涵等值式 $\quad A \to B \Leftrightarrow \lnot A \lor B$
  
  - 等价等值式$\quad A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (A \to B) \land (B \to A)$
  
  - 假言易位$\quad A \to B \Leftrightarrow \lnot B \to \lnot A $
  
  - 等价否定等值式$\quad A \leftrightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \leftrightarrow \lnot B$
  
  - 归谬律$\quad (A \to B) \land (A \to \lnot B) \Leftrightarrow \lnot A$

#### 范式
- 文字
  - 命题变项及其否定
  - 简单析取式 :由有限个文字构成的析取式 如$\quad p\lor q, \quad p, \quad \lnot p$
  - 简单合取式 :由有限个文字构成的合取式 如$\quad p \land q, \quad p, \quad \lnot p$
- 范式
  - 析取范式 :由简单合取式的析取构成的命题公式
    - $(A \land B) \lor (A \land C)$  
  - 合取范式 :由简单析取式合取构成的命题公式
    - $(A \lor B) \land (A \lor C)$
  - 主析取范式 :简单合取式全为极小项
    - 极小项(成真) 如  $m_{0}= \lnot p \land \lnot q \land \lnot r, \quad p,q,r =0,0,0$
  - 主合取范式 :简单析取式全为极大项
    - 极大项(成假) 如 $M_{0}=p \lor q \lor r, \quad p,q,r=0,0,0$
 - 联结词的完备集
   - n元真值函数 :每个真值函数可表示成唯一的一个析取范式(主合取范式)
   - 联结词完备集 :任何n元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集
     - {$\lnot , \lor , \land$}是联结词完备集  
     - {$\uparrow$} (与非)是联结词完备集
     - {$\downarrow$} (或非)是联结词完备集

##

### 命题逻辑的推理理论

#### 推理定律
- 附加律
- 化简律
- 假言推理
- 拒取式
- 析取三段论
- 假言三段论
- 等价三段论
- 构造性二难
- 破环性二难

#### 推理规则
- 前提引入规则
- 结论引入规则
- 假言推理规则
- 附加规则
- 化简规则
- 拒取式规则
- 假言三段论规则
- 析取三段论规则
- 构造性二难推理规则
- 破坏性二难推理规则
- 合取引入规则 $\quad A,B \quad A \land B $
#### 推理方法
- 附加前提证明法
- 归谬法

##

### 一阶逻辑的基本概念

#### 谓词公式
- 解释
  - 解释 I
  - 赋值 $\sigma$
- 等值式
  1. <a href="#user-content-jump" target="_self" >命题逻辑等值式</a>
  2. 量词否定等值式
  3. 量词辖域收缩与扩张等值式
     - $\forall x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow \forall xA(x) \lor B $
  4. 量词分配等值式
     - $\forall x(A(x) \land B(x)) \Leftrightarrow \forall xA(z) \land \forall xB(x) $
     - $\exists x(A(x) \lor B(x)) \Leftrightarrow \exists xA(x) \lor \exists xB(x) $
  5. 规则
     - 置换规则
     - 换名规则
 - 前束范式
$$
\begin{align*}
&\forall xF(x) \land \lnot \exists xG(x)\\
&\Leftrightarrow \forall xF(x) \land \lnot \exists yG(y)\\
&\Leftrightarrow \forall xF(x) \land \forall y \lnot G(y)\\
&\Leftrightarrow \forall x(F(x) \land \forall y \lnot G(y))\\
&\Leftrightarrow \forall x \forall y(F(x) \land \lnot G(x))
\end{align*}
$$

##

### 集合

#### 集合恒等式
- 幂等律
- 结合律
- 交换律
- 分配律
- 同一律
- 零律
- 排中律
- 矛盾律
- 吸收律
- 德摩根律
  - $A-(B \cup C) =(A-B) \cap (A-C)$
  - $A-(B \cap C) = (A-B) \cup (A-C)$
  - $\sim (B \cup C) = \sim B \cap \sim C$
  - $\sim (B \cap C) = \sim B \cup \sim C$
- 双重否定律
- 重要结果
  - $A \oplus B = B \oplus A$ 
  - $(A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus A)$
  - $A \oplus \varnothing = A$
  - $A \oplus A = \varnothing$
  - $A \oplus B = A \oplus C \Rightarrow B=C$
  
##
  
### 二元关系
  
#### 笛卡尔积
 - $A\times B = \{ \langle x,y \rangle |x \in A \land y \in B \} $

#### 二元关系
- 设$A,B$为集合,$A \times B$的任何子集所定义的二元关系称作 从$A$到$B$的二元关系
- $I_{A}\  $为恒等关系
- 关系矩阵

$$
\begin{cases}
 \ r_{ij}= 1&if\ \  x_{i}Rx_{j}\\ 
\ r_{ij}=0&if\ \ x_{i} \not R x_{j} \\
\end{cases}
$$

$$
\left[\begin {array}{c}
r_{11} &r_{12} &\cdots &r_{1n}\\
r_{21}&r_{22} &\cdots &r_{2n} \\
\vdots &\vdots &\quad &\vdots \\
r_{n1}&r_{n2} &\cdots &r_{nn} \\
\end{array}\right]
$$
- 域
  - 定义域: 有序对的第一元素构成的集合  
  - 值域: 有序对的第二元素构成的集合
- 逆关系
  - $R^{-1}=\{ \langle x,y \rangle | \langle y,x \rangle \in R \}$ 
- 复合
  - 左复合
  - 右复合 
    - 关系的幂
      - $R^{0}=I_{A}$ 
      - $R^{n+1}=R^{n} \circ R$
- 关系的性质
  - 自反性
  - 反自反性
  - 对称性
  - 反对称性
  - 传递性  
- 偏序关系: 如果R是自反的，反对称的，传递的，则称R为A上的偏序关系，记作$\le$
  - 哈斯图
  - 最大(小)元
  - 极大(小)元
  - 上(下)界
  - 上(下)确界

##

### 图

#### 图的类型
- n阶n个顶点的图
- 零图: 没有边的图
- 空图: 顶点为空集的图
- 平凡图: 1阶零图

#### 图的度数
- 无向图$\\ $ $G=\langle V,E \rangle $为无向图,$\forall v \in V$,称$\ v\ $作为边的端点的次数为$\ v \ $的度数 
- 有向图$\\ $ 设 $D= \langle V,E \rangle $为有向图,$\forall v V$,称$\ v\ $作为边的始点的次数为$\ v\ $的出度,记作$d_{D}^{+}. $ 称$\ v\ $作为边的终点的次数为$\ v\  $的入度,记作$ d_{D}^{-}.$
$$
\begin{align*}\Delta (G)&=max \{ d(v) |\ v\ \in V(G) \}\\\delta (G)&=min \{ d(v) | \ v\ \in V(G) \} \end{align*}
$$

#### 图的同构

#### 通路与回路

#### 图的连通性
- $p(G)\ $为$\ G\ $的连通分支数
- 点割集
- 边割集

#### 图的矩阵表示
- 关联矩阵
- 邻接矩阵

##

### 树

#### 无向树

#### 生成树
- 最小生成树
  - 避圈法(Kruskal算法)
   
#### 根数
- 最优二叉树
  - Huffman算法

离散数学基本概念

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![风景.png](https://huacy.fun/static/img/9a4981c564465beebf30ad6198347dfc.%C3%A9%C2%A3%C2%8E%C3%A6%C2%99%C2%AF.webp)




本征半导体

共价键

载流子
- 本征激发  温度
- 复合  浓度
- 自由电子空穴对

杂质半导体

掺入少量杂志

N型半导体
- 参入磷(5价)

P型半导体
- 参入硼(3价)

与多子相关的性质受温度影响小

空间电荷区：PN结 耗尽层 阻挡层
- 多子扩散，少子漂移
- 对称结，不对称结
- 单向导电

反向击穿
- 雪崩击穿 粒子加速 pn结足够宽度 温度越高所需电压越高
- 齐纳击穿 参杂浓度高 PN结窄 温度越高击穿电压越低

势垒电容
扩散电容 非平衡少子与电压的关系


二极管

主要参数
- $I_{f}$
- $U_{R}$
- $I_{R}$
- $f_{M}$



温度的影响
- 温度升高 正向曲线左移 反向下移
- 室温 上升1℃ 正向压降下降2--2.5mv，温度上升10℃ 反向电流增大一倍


等效电路
- 对外特性
- 物理模型